המעגל: מיתרים וזוויות מרכזיותגאומטריה 571 · שיעור 23
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 23: המעגל: מיתרים וזוויות מרכזיות
פרק 7 · המעגל
1אנך מהמרכז למיתר חוצה אותו (עם הוכחה) ושני המשפטים ההפוכים
2מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות ⟺ קשתות שוות
35 תרגילים עם פיתגורס, כולל מיתרים מקבילים
הגדרות + משפט + הוכחה
מיתר, ואנך מהמרכז למיתר
AB מיתר. ∢AOB זווית מרכזית
OA = OB
רדיוסים במעגל שווים
מורידים אנך OM ⊥ AB
קו עזר
AM = MB , ∢AOM = ∢BOM
ב־△AOB שווה השוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון וגם חוצה זווית
📐 משפט: אנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר. ולהפך: ישר מהמרכז לאמצע המיתר מאונך לו, והאנך האמצעי של מיתר עובר דרך המרכז
📐 הגדרה
מיתר: קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל. קוטר: מיתר שעובר דרך המרכז (2R). זווית מרכזית: קדקודה במרכז
📐 הגדרה
מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים
OA = OB = R
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס
משפט
מיתרים שווים, זוויות מרכזיות שוות, קשתות שוות
AB = CD – שני מיתרים שווים
∢AOB = ∢COD
מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות
📐 משפט: במעגל – מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות ⟺ קשתות שוות
💡 ההוכחה: △AOB ≅ △COD לפי צ.צ.צ (שני רדיוסים + המיתר)
📐 משפט
במעגל: מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות ⟺ קשתות שוות
📐 משפט חפיפה
צ.צ.צ: שלוש צלעות
תרגיל 1 · מרחק מיתר מהמרכז · קל
במעגל שמרכזו O ורדיוסו 10 , המיתר AB = 16 , ו־OM ⊥ AB
מצאו את המרחק OM
מצאו את המרחק OM
MB = 16 : 2 = 8
אנך מהמרכז למיתר חוצה אותו
OM² + MB² = OB²
משפט פיתגורס ב־△OMB
OM² + 64 = 100 ⟹ OM² = 36
מציבים ומעבירים אגפים
OM = 6
שורש (אורך חיובי)
✅ פתרון סופי: OM = 6
📐 משפט
אנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר (וגם את הזווית המרכזית)
📐 משפט
משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
a² + b² = c²
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
תרגיל 2 · אורך מיתר · קל
במעגל שמרכזו O ורדיוסו 13 , מרחק המיתר AB מהמרכז הוא 5
מצאו את אורך המיתר
מצאו את אורך המיתר
OM ⊥ AB , OM = 5
המרחק מהמרכז הוא האנך
OM² + MB² = OB²
משפט פיתגורס ב־△OMB
25 + MB² = 169 ⟹ MB² = 144
מציבים ומעבירים אגפים
MB = 12
שורש (אורך חיובי)
AB = 2 · 12 = 24
אנך מהמרכז למיתר חוצה אותו
✅ פתרון סופי: AB = 24
📐 משפט
משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
a² + b² = c²
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
📐 משפט
אנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר (וגם את הזווית המרכזית)
תרגיל 3 · זווית מרכזית · בינוני
במעגל שמרכזו O ורדיוסו R: המיתר AB שווה לרדיוס, והמיתר CD שווה ל־AB
מצאו את ∢AOB ואת ∢COD
מצאו את ∢AOB ואת ∢COD
OA = OB = R , AB = R
רדיוסים במעגל שווים + נתון
△AOB שווה צלעות
שלוש צלעות שוות
∢AOB = 60
במשולש שווה צלעות כל זווית 60
∢COD = ∢AOB = 60
מיתרים שווים ← זוויות מרכזיות שוות
✅ פתרון סופי: ∢AOB = ∢COD = 60
📐 הגדרה
מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים
OA = OB = R
📐 משפט
במשולש שווה צלעות כל זווית שווה 60 מעלות
📐 משפט
במעגל: מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות ⟺ קשתות שוות
תרגיל 4 · משוואה · קל
OM ⊥ AB , כאשר AB מיתר במעגל שמרכזו O
AM = 2x + 1 , MB = x + 4. מצאו את x ואת AB
AM = 2x + 1 , MB = x + 4. מצאו את x ואת AB
AM = MB
אנך מהמרכז למיתר חוצה אותו
2x + 1 = x + 4
מציבים
2x − x = 4 − 1 ⟹ x = 3
מעבירים אגפים וכינוס
AM = MB = 7
מציבים x = 3
AB = 7 + 7 = 14
AB = AM + MB
✅ פתרון סופי: x = 3 , AB = 14
📐 משפט
אנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר (וגם את הזווית המרכזית)
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
תרגיל 5 · מורכב: מיתרים מקבילים
במעגל שמרכזו O ורדיוסו 10 שני מיתרים מקבילים: AB = 16 , CD = 12 , משני צדי המרכז
מצאו את המרחק בין המיתרים
מצאו את המרחק בין המיתרים
MB = 8 , ND = 6
אנך מהמרכז למיתר חוצה אותו
OM² + 8² = 10²
פיתגורס ב־△OMB (OB = 10 רדיוס)
OM² = 36 ⟹ OM = 6
מעבירים אגפים ושורש
ON² + 6² = 10²
פיתגורס ב־△OND
ON² = 64 ⟹ ON = 8
מעבירים אגפים ושורש
MN = OM + ON = 6 + 8 = 14
M , O , N על ישר אחד – המאונך לשני המיתרים
✅ פתרון סופי: המרחק בין המיתרים 14
📐 משפט
אנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר (וגם את הזווית המרכזית)
📐 משפט
משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר
a² + b² = c²
📐 הגדרה
מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים
OA = OB = R
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
אנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר (וגם את הזווית המרכזית)
📐 משפט
במעגל: מיתרים שווים ⟺ זוויות מרכזיות שוות ⟺ קשתות שוות
📐 הגדרה
מעגל: כל הנקודות שנמצאות במרחק R מהמרכז. כל הרדיוסים שווים
OA = OB = R
💡 במעגל מחברים רדיוסים! רדיוס + אנך מהמרכז + חצי מיתר = משולש ישר זווית לפיתגורס.
בשיעור הבא: זווית היקפית
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא